一阶线性微分方程

一阶线性齐次微分方程 (1-LH)

$$y' + P(x) y = 0$$

变形得可分离变量方程

$$\dfrac{dy}{dx} = -P(x)y$$

$$\dfrac{dy}{y} = -P(x) dx$$

$$\ln |y| = -\int P(x) dx + C$$

$$y = Ce^{-\int P(x) dx}$$

一阶线性非齐次微分方程 (1-LNH)

$$y' + P(x) y = Q(x)$$

1-LH 可看成 1-LNH $Q(x) \equiv 0$ 的特例 使用常数变易法: 将 $C$ 作为关于 $x$ 的函数

$$y = C(x)e^{-\int P(x) dx}$$

代入方程得

$$\dfrac{dC}{dx} e^{-\int P(x) dx} + C(x) e^{-\int P(x) dx} [-P(x)] + P(x)y = Q(x)$$

$$\dfrac{dC}{dx} e^{-\int P(x) dx} = Q(x)$$

$$\dfrac{dC}{dx} = Q(x) e^{\int P(x) dx}$$

对 $x$ 求积分

$$C(x) = \int Q(x) e^{\int P(x) dx} dx + \mathop{C}\limits^-$$

回代得通解

$$y = e^{-\int P(x) dx} [\int Q(x) e^{\int P(x) dx} dx + \mathop{C}\limits^-]$$

警告

此公式需要记忆 注意和线性微分方程#刘维尔公式区别

伯努利方程

$$y' + P(x)y = Q(x) y^\alpha$$

同时除以 $y^\alpha$ 得

$$y^{-\alpha} y' + P(x) y^{1-\alpha} = Q(x)$$

令 $z = y^{1-\alpha}$ 则 $z' = (1-\alpha) y^{-\alpha} y'$, $y' = \dfrac{y^\alpha}{1-\alpha} z'$ 代入得

$$\dfrac{z'}{1-\alpha} + P(x) z = Q(x)$$

变为 1-LNH 求解

注意

不要忘了反解 $z$ 和 $y$