导数

可导

点可导

极限 $\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$ 存在, 则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导; 否则不可导

区间可导

$f(x)$ 在区间内每一点都可导 在闭区间端点 单侧可导

$f(x)$ 在区间 $I$ 上可导记作 $f(x) \in D(I)$

导数

$$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{x \to x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$$

记号: $y'(x_0)$, $y'|_{x=x_0}$, $\dfrac{dy}{dx}|_{x=x_0}$, $\dfrac{df}{dx}|_{x=x_0}$

左(右)导数

$$f'_-(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0^-} \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \lim_{x \to x_0^-} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$$

$$f'_+(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0^+} \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \lim_{x \to x_0^+} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$$

导函数

记号: $f'(x)$, $y'(x)$, $\dfrac{dy}{dx}$, $\dfrac{df}{dx}$

注意

(左右)导数 $\nLeftrightarrow$ 导函数的(左右)极限 即: $\begin{cases} f'_-(x_0) \nLeftrightarrow f'(x_0 - 0) \Leftrightarrow \lim_{x \to x_0^-} f'(x) \\ f'_+(x_0) \nLeftrightarrow f'(x_0 + 0) \Leftrightarrow \lim_{x \to -_0^+} f'(x_0) \end{cases}$

详见 导函数的极限和导数#区别