线性子空间

若 $V$ 是 $F$ 上的线性空间, $W$ 是 $V$ 的非空子集合, $W$ 也是 $F$ 上的线性空间, 则 $W$ 为 $V$ 的一个线性子空间

充要条件

$W$ 是 $V$ 的一个线性子空间 $\iff$ $W$ 是 $V$ 的非空子集合 且 $\forall \boldsymbol \alpha, \boldsymbol \beta \in W$, $k \in F$, $k\boldsymbol \alpha + \boldsymbol \beta \in W$ ($W$ 对 $V$ 的加法和纯量乘法封闭)

分类

• 平凡子空间
  • 零子空间: $W$ 仅含零向量
  • 全子空间: $W = V$
• 非平凡子空间

生成子空间

$V$ 是 $F$ 上的线性空间, $\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \cdots, \boldsymbol \alpha_m \in V$, $k_1, k_2, \cdots, k_m \in F$$L = \{\boldsymbol \beta | \boldsymbol \beta = k_1 \boldsymbol \alpha_1 + k_2 \boldsymbol \alpha_2 + \cdots + k_m \boldsymbol \alpha_m\}$ (线性组合) 构成 $V$ 的子空间 则称 $L(\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \cdots, \boldsymbol \alpha_m)$ 为 $\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \cdots, \boldsymbol \alpha_m$ 生成的子空间

例子

• $\mathbf A_{m \times n} \mathbf x = \mathbf 0$ 的所有解向量构成 $\mathbb R^n$ 的子空间 且可以由基础解系生成