特征值与特征向量

定义

若 $\mathbf A \in \mathbf F^{n \times n}$, $\lambda \in \mathbf F$, $\boldsymbol \alpha \in \mathbf F^{n \times 1}$, 满足

$$\mathbf A \boldsymbol \alpha = \lambda \boldsymbol \alpha$$

则 $\lambda$ 为方阵 $\mathbf A$ 的一个特征值, $\boldsymbol \alpha$ 为 $\mathbf A$ 对应于特征值 $\lambda$ 的一个特征向量

特例

• $\mathbf E$ 的对任意非零向量特征值都为 1
• 上/下三角矩阵/对角矩阵的特征值为对角线上的所有元素

性质

$$tr(\mathbf A) = \sum_{i=1}^n \lambda_i$$

$$|\mathbf A| = \prod_{i=1}^n \lambda_i$$

提示

因此 $|\mathbf A| = 0$ $\iff$ 存在一个特征值为0

	特征值	特征向量
$\mathbf A$	$\lambda$	$\xi$
$k \mathbf A$	$k\lambda$	$\xi$
$\mathbf A^k$	$\lambda^k$	$\xi$
$\mathbf A^{-1}$	$\lambda^{-1}$	$\xi$
$\mathbf A^*$	$\dfrac{|\mathbf A|}{\lambda}$	$\xi$
$\mathbf P^{-1} \mathbf A \mathbf P$	$\lambda$	$\mathbf P^{-1} \xi$
$f(\mathbf A)$ (多项式)	$f(\lambda)$	$\xi$
例如:

• $\mathbf A^5 = 0$ $\iff$ $\lambda^5 = 0$ 特征值: 0 (代数重数=5)
• $\mathbf A^2 = \mathbf A$ $\iff$ $\lambda^2 = \lambda$ $\iff$ $\lambda = 0$ 或 $\lambda = 1$
• $\mathbf A + \mathbf E$ 特征值: $\lambda + 1$