向量组的等价

向量组的线性表示和等价

设有两个向量组

• $(I) \boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \dots \boldsymbol \alpha_s$
• $(II) \boldsymbol \beta_1, \boldsymbol \beta_2, \dots, \boldsymbol \beta_t$ 若 $(I)$ 中每个向量都能用 $(II)$ 线性表示(线性组合), 则向量组 $(I)$ 可由向量组 $(II)$ 线性表示

若向量组 $(I)$ 和 $(II)$可以互相线性表示, 则向量组 $(I)$ 与 $(II)$ 等价

这是一种等价关系 因此具有反身性, 对称性, 传递性

定理1

向量组 $(I) \boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \dots \boldsymbol \alpha_s$ 可由向量组 $(II) \boldsymbol \beta_1, \boldsymbol \beta_2, \dots, \boldsymbol \beta_t$ 线性表示$\implies$ $r(\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \dots \boldsymbol \alpha_s) \leq r(\boldsymbol \beta_1, \boldsymbol \beta_2, \dots, \boldsymbol \beta_t)$

即: 被表示的秩一定 小于等于 用来表示的

定理2

向量组 $\boldsymbol \beta_1, \boldsymbol \beta_2, \dots, \boldsymbol \beta_t$ 与 $\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \dots \boldsymbol \alpha_s$ 等价$\implies$ $r(\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \dots \boldsymbol \alpha_s) = r(\boldsymbol \beta_1, \boldsymbol \beta_2, \dots, \boldsymbol \beta_t)$

即: 向量组等价 $\implies$ 构成的矩阵秩相等